О числе компонент случайного $A$-отображения

Пусть $\mathfrak{S}_n$ — полугруппа отображений множества из $n$ элементов в себя, $A$ — некоторое фиксированное подмножество множества натуральных чисел ${\mathbf N},\ V_n(A)$ — множество отображений из $\mathfrak{S}_n$, размеры контуров которых принадлежат множеству $A$. Отображения из $V_n(A)$ принято называть $A$-отображениями. Рассмотрим случайное отображение $\sigma_n$, равномерно распределенное на $V_n(A)$. Предполагается, что множество $A$ имеет асимптотическую плотность $\varrho>0$. Пусть $\nu_n$ — число компонент связности случайного отображения $\sigma_n$. В настоящей статье показано, что случайная величина $\nu_n$ асимптотически нормальна со средним $a(n)=\sum_{k\in A(\sqrt{n})}1/{k}$ и дисперсией $\varrho\ln(n)/2$, где $A(t)=\{k: k\in A,\ k\leq t\}$.