Аппроксимация второго порядка для распределения максимума случайного блуждания с отрицательным сносом и бесконечной дисперсией

Пусть $\xi,\xi_1,\xi_2,\ldots$ — независимые одинаково распределенные случайные величины, $a:=-{\mathbf E}\,\xi> 0$, $S_n:=\sum_{j=1}^n\xi_j$, $S_0=0$, $S:=\sup_{n\ge 0}S_n$, $F_+(t):={\mathbf P}(\xi\ge t)$, $F_-(t):={\mathbf P}(\xi\le-t)$, $F_+^I(t)=\int_t^\infty F_+(u)\,du$. Хорошо известно (см., например, [1], [5]), что если функция $F^I_+(t)$ субэкспоненциальна, то ${\mathbf P}(S\ge x)\sim{F_+^I(x)}/{a}$ при $x\to\infty$. В [2] (см. также [3]) при условии ${\mathbf E}\,\xi^2<\infty$ найден следующий член асимптотического разложения для ${\mathbf P}(S\ge x)$ при $x\to\infty$ (порядка $F_+(x)$) в случае, когда функция $F_+(x)$ либо правильно меняется на бесконечности, либо семиэкспоненциальна. В настоящей работе получена аппроксимация второго порядка для ${\mathbf P}(S\ge x)$ в случае, когда ${\mathbf E}\,\xi^2=\infty$, а функции $F_\pm(t)$ удовлетворяют некоторым условиям правильного изменения. Полученные результаты распространены на обобщенные процессы восстановления.