Условная предельная теорема для максимума случайного блуждания в случайной среде

Пусть задана последовательность независимых одинаково распределенных пар случайных величин $( p_{i},q_{i})$, $i\in\mathbf{Z}$, причем $p_{0}+q_{0}=1$ и п.н. $p_{0}>0$, $q_{0}>0 $. Рассматривается случайное блуждание в случайной среде $( p_{i},q_{i}) $, $i\in\mathbf{Z}$. Это означает, что при фиксированной случайной среде блуждающая частица совершает переход из состояния $i$ либо в состояние $i+1$ с вероятностью $p_{i}$, либо в состояние $i-1$ с вероятностью $q_{i}$. Предполагается, что случайная величина $\ln ( q_{0}/p_{0}) $ имеет нулевое математическое ожидание и конечную положительную дисперсию $\sigma^{2} $. Пусть $X_{n}$ — положение блуждающей частицы в момент времени $n$. Показано, что случайная величина $\sigma^{2}\max_{0\le i\le n}X_{i}/\ln^{2}n$, рассматриваемая при условии, что $X_{1}\ge 0,\dots ,X_{n}\ge 0$, сходится по распределению при $n\to \infty $ к некоторой положительной случайной величине с известной функцией распределения.