A note on one-dimensional stochastic differential equations with generalized drift

Мы рассматриваем одномерные стохастические дифференциальные уравнения с обобщенным сносом, в которых присутствует локальное время $L_X$ процесса решения:
$$ X_t = X_0 +\int_0^t b(X_s)dB_s+\int_{\mathbf{R}}L^X(t,y)\nu (dy), $$
где $b$ — измеримая вещественная функция, $B$ — винеровский процесс и $\nu$ обозначает функцию множеств, определенную на ограниченных борелевских подмножествах вещественной оси $\mathbf{R}$ так, что она является конечной мерой со знаком на $\mathscr{B}([-N,N])$ для любого $N\in\mathbf{N}$. Уравнения такого рода, в зависимости от используемого локального времени — правого, левого или симметрического, обычно изучаются соответственно при следующих условиях на атомы: $\nu(\{x\}) < 1/2$, $\nu(\{x\}) > -1/2$ и $|\nu(\{x\})| < 1$. Эти условия позволяют свести уравнение с обобщенным сносом к уравнению без сноса и вывести условия существования и единственности решений из соответствующих результатов для уравнений без сноса. Основная цель настоящей статьи — исследовать случаи $\nu(\{x\}) \geq 1/2$, $\nu(\{x\}) \leq -1/2$ и $|\nu(\{x\})| \geq 1$ для некоторого $x \in\mathbf{R}$ и дать полное описание свойств уравнений с обобщенным сносом и их решений в этих случаях.