Аппроксимация второго порядка для слабо усеченных средних

Мы исследуем асимптотические свойства второго порядка распределений статистик $T_n = (\sum_{i=k_n+1}^{n-m_n} X_{i:n})/n$, где $k_n, m_n$ — последовательности целых чисел, $0 \leq k_n < n-m_n\leq n, r_n :=\min (k_n, m_n)\rightarrow\infty$ при $n\rightarrow\infty$ и $X_{i:n}$ — порядковые статистики, соответствующие выборке $X_1,\ldots ,X_n$ независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения $F$. В частности, мы заостряем внимание на случае слабо усеченных средних, когда $\max(k_n,m_n)/n \rightarrow 0$ при $n \rightarrow\infty$, и предполагаем, что распределение $F$ имеет тяжелые хвосты, т.е. что дисперсия $F$ бесконечна. В работе получены оценки типа Берри–Эссеена оптимального порядка $O(r_n^{-1/2})$ для нормальной аппроксимации $T_n$ и найдены разложения типа Эджворта для слабо усеченных средних и их стьюдентизованных версий. Наши результаты дополняют работу Ш.Чёргё, Э. Хейслера и Д. Мейсона [8] по асимптотике первого порядка для слабо усеченных сумм и наши предшествующие работы [14], [15] по аппроксимации второго порядка для (стьюдентизованных) сильно усеченных средних.