Две теоремы о параметре сходимости для неприводимой марковской цепи

Рассматривается однородная неприводимая цепь Маркова $X$ с измеримым пространством состояний $(E,\mathscr{B})$ и переходным оператором $P$, действующим в пространстве ограниченных снизу измеримых функций, причем $\sigma$-алгебра $\mathscr{B}$ считается счетнопорожденной. Доказывается, что если эта цепь апериодична, а какие-либо функция $f$ и мера $\nu$ малы для нее, то $[\nu(P^nf)]^{1/n}\rightarrow R$ при $n\rightarrow\infty$, где $R$ — ее параметр сходимости. Для периодических цепей Маркова это утверждение модифицируется соответствующим образом. Если же цепь $X$ симметрична относительно некоторой $\sigma$-конечной меры $\pi$, то $R=\|\widetilde{P}\|^{-1}$, где $\widetilde{P}$ — ограниченный самосопряженный оператор, порожденный $P$ и действующий в пространстве $L_2 (\pi)$. Результаты работы развивают приведенные в [4] и [5].