Когда стохастическая экспонента является мартингалом. Развитие метода Бенеша

Стохастическая экспонента $\mathfrak{z}$ локального маpтингaлa $M$ со скачками $\Delta M_t>-1$, т.е. $\mathfrak{z}_t=1+\int_0^t\mathfrak{z}_{s-}\,dM_s,$ является неотрицательным локальным маpтингалом с $\mathbf{E}\,\mathfrak{z}_t\le 1$. Если $\mathbf{E}\,\mathfrak{z}_{_T}= 1$, то $\mathfrak{z}$ — мартингал на интервале $[0,T]$. Маpтингальное свойство играет важную роль во многих приложениях. Поэтому естественные и легко проверяемые условия этого свойства представляют определенный интерес. В настоящей статье условие $\mathbf{E}\,\mathfrak{z}_{_T}=1$ проверяется при линейном росте параметров, участвующих в определении $M$, предложенные И. В. Гирсановым [10] и частично реализованные В. Бенешем [3]. Предлагаемый нами метод обобщает метод Бенеша без использования его технологии кусочно-постоянной аппроксимации. Предлагаемые условия эффективны в случаях, когда условия Новикова [30] и Казамаки [18] неприменимы. Они также эффективны в случае как марковских (возможно, взрывающихся), так и не марковских процессов, порождающих маpтингалы $M$ со скачками. Наш подход отличается от недавно опубликованных подходов в статьях [5] и [29].