Hitting spheres on hyperbolic spaces

Для гиперболического броуновского движения на полуплоскости Пуанкаре $\mathbf{H}^2$, выходящего их точки $z=(\eta, \alpha)$ внутри гиперболического диска $U$ радиуса $\bar{\eta}$, мы получаем вероятность достижения границы $\partial U$ в точке $(\bar \eta,\bar \alpha)$. При $\bar{\eta} \rightarrow \infty$ мы получаем для точки достижения распределение Коши на $\partial \mathbf{H}^2$. В частности, отсюда следует, что гиперболическое броуновское движение, выходящее из $(x,y) \in \mathbf{H}^2$, “достигает” границы полуплоскости Пуанкаре $\mathbf{H}^2$ в точке, которая имеет распределение Коши с параметром масштаба $y^{\prime}=\frac{y}{x^2+y^2}$ и параметром сдвига $x^{\prime}=\frac{x}{x^2+y^2}$. При малых значениях $\eta$ и $\bar \eta$ мы получаем классическое евклидово ядро Пуассона.
Выводятся вероятности выхода из гиперболического кольца в $\mathbf{H}^2$ с радиусами $\eta_1$ и $\eta_2$ и рассматривается переходное поведение гиперболического броуновского движения. Сходные вероятности вычисляются также для броуновского движения на трехмерной сфере.
В случае гиперболической полуплоскости $\mathbf{H}^n$ мы получаем, с доказательством, основанным на методе разделения переменных, ядро Пуассона для шара. Для малых областей в $\mathbf{H}^n$ мы получаем $n$-мерное евклидово ядро Пуассона. Вероятности выхода из кольца вычисляются также в $n$-мерном случае.