|
Эта публикация цитируется в 9 научных статьях (всего в 9 статьях)
Моментные оценки точности нормальной аппроксимации с уточненной структурой для сумм независимых симметричных случайных величин
И. Г. Шевцова Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики
Аннотация:
Для равномерного расстояния $\Delta_n$ между функцией распределения стандартного нормального закона и функцией распределения нормированной суммы $n$ независимых случайных величин
$X_1,\ldots,X_n$ с симметричными функциями распределения
$F_1,\ldots,F_n$ и $\mathbf{E}\,|X_j|=\beta_{1,j}$, $\mathbf{E}\,X_j^2=\sigma_j^2$, ${j=1,\ldots,n}$, при всех $n\geq 1$ и $c\geq 0$
доказаны оценки
$$
\Delta_n\leq \frac{1/2+\varkappa+c}{\sqrt{2\pi}}\,\ell_n +
\frac{1/2-\varkappa-c}{\sqrt{2\pi}B_n^3}
\sum_{j=1}^n\beta_{1,j}\,\sigma_j^2
+
\begin{cases}
4\ell_n^{7/6}\wedge A(c)\ell_n^{4/3}&\text{в общем случае,}\\
2\ell_n^{3/2}\wedge A(c)\ell_n^2, &\text{если $F_1=\cdots=F_n$},
\end{cases}
$$
где $B_n^2=\sum_{j=1}^n\sigma_j^2,$ $\ell_n=B_n^{-3}\sum_{j=1}^n\,\mathbf{E}\,|X_j|^3$, $\varkappa=\sup_{x>0}(\cos x-1+x^2/2)/x^3=0.0991\ldots,$
функция $A(c)$ не ограничена при $c\rightarrow 0$, монотонно убывает, принимая конечные значения при всех $c>0$, и указана в явном виде, символом $\wedge$ обозначен минимум. Обсуждается вопрос
оптимальности константы $(1/2+\varkappa)/\sqrt{2\pi}=0.2390\ldots$ в первом слагаемом, соответствующей значению $c=0$. Полученные оценки уточняют известные результаты В. Бенткуса (1991, 1994) (при
$c=\varkappa$) и Г. П. Чистякова (1996, 2001) (при $c=1/2-\varkappa=0.4008\ldots$). Также доказаны аналогичные результаты для случая, когда симметричные случайные слагаемые имеют
абсолютные моменты только порядка $2+\delta$ с некоторым $0<\delta<1$.
Ключевые слова:
центральная предельная теорема, оценка скорости сходимости, нормальная аппроксимация, неравенство Берри–Эссеена, асимптотически правильная константа.
Поступила в редакцию: 14.03.2012
Образец цитирования:
И. Г. Шевцова, “Моментные оценки точности нормальной аппроксимации с уточненной структурой для сумм независимых симметричных случайных величин”, Теория вероятн. и ее примен., 57:3 (2012), 499–532; Theory Probab. Appl., 57:3 (2013), 468–496
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/tvp4463https://doi.org/10.4213/tvp4463 https://www.mathnet.ru/rus/tvp/v57/i3/p499
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 424 | PDF полного текста: | 194 | Список литературы: | 73 |
|