A unified “bang-bang” principle with respect to R-invariant performance benchmarks

В последнее время появился ряд работ, посвященных нахождению оптимального момента продажи акции — так, чтобы ожидаемое отношение цены продажи к некоторому эталону (т.е. к последней наивысшей цене акции) при конечном временном горизонте было максимальным. И хотя задача формулировалась в различных постановках, оптимальное решение в результате имело вид “bang-bang”, который был изначально найден в работе А. Н. Ширяева, Ц. Сюя и С. И. Чжоу [12] и который можно буквально интерпретировать как “Купить-и-держать” или “Продать-сразу-же” — в зависимости от качества акции. В настоящей статье мы сначала предлагаем три алгебраических условия на класс бенчмарков и называем любой бенчмарк, удовлетворяющий этим трем условиям, $\mathscr{R}$-инвариантным характеристическим бенчмарком. Мы показываем, что если $F$ есть $\mathscr{R}$-инвариантный характеристический бенчмарк, то соответствующая задача оптимальной остановки имеет оптимальное решение типа “bang-bang”. Предлагаемый нами подход позволяет дать единое доказательство всех похожих задач для броуновского движения, рассматриваемых в литературе, а также получить новые результаты; в частности, в п. 3.2 решена оставшаяся часть — не получившая освещения в литературе — задачи, первоначально сформулированной А. Н. Ширяевым (см. [11]).