Local time and convergence of empirical estimators

Пусть $\Phi_{T}=\{\Phi_{T}(x),\ x\in\bf{R}\}$, $T>0$, – семейство измеримых действительнозначных процессов на $\bf{R}$ с траекториями в $\mathscr{B}_{\rm{b}}$ (где $\mathscr{B}_{\rm{b}}$ – класс действительнозначных борелевских функций), которые при $T\to\infty$ сходятся в $\mathscr{B}_{\rm{b}}$ по распределению к некоторому процессу $\Phi$. Цель настоящей заметки – доказать сходимость взвешенных средних величин $\Phi_{T}(X_t)$ на $[0,T]$ при $T\to\infty$, где $(X_t)_{t\ge 0}$ – действительнозначный процесс, имеющий локальное время. Наш метод основан на стохастической версии формулы для времени пребывания, использующей разложение Карунена–Лоэва. Мы описываем одно применение этого результата для оценки инвариантного маргинального распределения эргодического диффузионного процесса.