On the distribution of complex roots of random polynomials with heavy-tailed coefficients

Рассмотрим случайный полином $G_n(z)=\xi_n z^n+\cdots+\xi_1 z+\xi_0$ с независимыми и одинаково распределенными комплексными коэффициентами. Предположим, что распределение случайной величины $\ln (1+\ln (1+|\xi_0|))$ имеет медленно меняющийся хвост. Тогда распределение комплексных корней полинома $G_n$ концентрируется по вероятности при $n\rightarrow\infty$ около двух концентрических окружностей и является равномерным при $n\rightarrow\infty$. Окружности имеют радиусы $|\xi_0/\xi_r|^{1/\tau}$ и $|\xi_{\tau}/\xi_n|^{1/(n-r)}$, где $\xi_r$ обозначает максимальный по модулю коэффициент.