$q$-Wiener and $(\alpha, q)$-Ornstein–Uhlenbeck processes. A generalization of known processes

Мы собираем разбросанные в литературе и доказываем некоторые новые свойства двух марковских процессов, во многом сходных с винеровским процессом и процессом Орнштейна–Уленбека. Хотя рассматриваемые в настоящей работе процессы были определены в контексте некоммутативной вероятности или через квадратические связки (harnesses), мы определяем их заново как своего рода обобщение “для непрерывного времени” простых симметричных процессов с дискретным временем, удовлетворяющих простым условиям на форму первых двух условных моментов. Конечномерные распределения первого из этих процессов (скажем, $\mathbf{X}=(X_t)_{t\geq 0}$, называемого $q$-винеровским, зависят от одного параметра $q\in (-1, 1]$, а конечномерные распределения второго (скажем, $\mathbf{Y}=(Y_t)_{t\in\mathbf{R}}$, называемого $(\alpha,q)$-процессом Орнштейна–Уленбека, — от двух параметров $(\alpha, q)\in (0,\infty)\times (-1, 1]$. Первый процесс имеет с винеровским то общее, что при $q=1$ он сам является винеровским, а при $|q|<1$ для любого $n\geq 1$ процесс $t^{n/2}H_n (X_t/\sqrt{t}|q)$, где $(H_n)_{n\geq 0}$ — так называемые $q$- полиномы Эрмита, является мартингалом. Он, однако, не имеет ни независимых приращений, ни модификации с непрерывными траекториями. Второй процесс сходен с процессом Орнштейна–Уленбека. При $q=1$ он превращается в классический процесс Орнштейна–Уленбека. При $|q|<1$ он является стационарным процессом с корреляционной функцией $\exp (-\alpha |t-s|)$ и обладает многими свойствами, сходными со свойствами классической версии. Эти процессы представляются нам захватывающим предметом для исследования, предлагающим много интересных открытых вопросов.