|
Эта публикация цитируется в 25 научных статьях (всего в 25 статьях)
Принципы больших уклонений для траекторий случайных блужданий. I
А. А. Боровков, А. А. Могульский Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск
Аннотация:
Изучается случайное блуждание $S_n:=\xi_1+\cdots+\xi_n, n=0,1,\ldots,$ в $d$-мерном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^d$, где $S_0=0, \xi_k$ — независимые одинаково распределенные случайные векторы, удовлетворяющие моментному условию Крамера. Для случайных ломаных, построенных по узловым точкам
$$
\biggl(\frac{k}{n}, \frac{1}{x}S_k\biggr),\quad k=0,1,\ldots,n,
$$
найдена при $n\rightarrow\infty$ логарифмическая асимптотика вероятностей больших уклонений в различных пространствах траекторий, когда $x\sim\alpha_0n, \alpha_0>0$. Получены так называемые локальный и расширенный принципы больших уклонений (п.б.у.) (см. [1]), которые справедливы и в тех случаях, когда “обычный” принцип больших уклонений отсутствует.
Работа состоит из 3 частей. Часть I содержит два раздела. В разделе 1 приводятся основные понятия и некоторые сведения о п.б.у. в произвольных метрических пространствах. В разделе 2 формулируются “усиленные” версии «обычных» п.б.у. в области больших уклонений, полученных ранее в [2], [3] в пространстве непрерывных функций. Кроме того, в разделе 2 приводится п.б.у. для вероятностей попадания траекторий случайных блужданий в выпуклые множества. Он получен на основе неравенств в [4] и не содержит каких-либо моментных условий.
В разделе 3 части II рассмотрен пример, поясняющий необходимость расширения постановки задачи и самого понятия “принцип больших уклонений”. Введены новое расширенное пространство
функций, метрика в нем и функционал (интеграл) уклонений более общего, чем ранее, вида, с помощью которых будет строиться “расширенный” п.б.у. В разделе 4 для траекторий одномерных случайных блужданий в пространстве $\mathbb{D}$ функций без разрывов второго рода приводятся и доказываются основные результаты работы: локальный и расширенный принципы больших уклонений. В разделе 5 все утверждения работы, сформулированные и доказанные в разделе 4, распространены на многомерный случай.
Раздел 6 части III содержит изложение результатов, аналогичных тем, что получены в разделе 4, но теперь в пространстве функций ограниченной вариации с более сильной, чем в $\mathbb{D}$, метрикой. В
разделе 7 получены так называемые условные принципы больших уклонений для траекторий одномерных случайных блужданий при локализованном положении блуждания в последний момент. В качестве следствия получена версия теоремы Санова о больших уклонениях эмпирических распределений.
Ключевые слова:
условие Крамера, функция уклонений, случайное блуждание, функционал уклонений, интеграл уклонений, большие уклонения, принцип больших уклонений, локальный принцип больших уклонений, расширенный принцип больших уклонений, выпуклые множества, пространство функций без разрывов второго рода, пространство функций ограниченной вариации, интегро-локальные теоремы Гнеденко и Стоуна–Шеппа, теорема Санова, большие уклонения эмпирических распределений.
Поступила в редакцию: 02.08.2011
Образец цитирования:
А. А. Боровков, А. А. Могульский, “Принципы больших уклонений для траекторий случайных блужданий. I”, Теория вероятн. и ее примен., 56:4 (2011), 627–655; Theory Probab. Appl., 56:4 (2011), 538–561
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/tvp4415https://doi.org/10.4213/tvp4415 https://www.mathnet.ru/rus/tvp/v56/i4/p627
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 786 | PDF полного текста: | 238 | Список литературы: | 106 |
|