Принципы больших уклонений для траекторий случайных блужданий. I

Изучается случайное блуждание $S_n:=\xi_1+\cdots+\xi_n, n=0,1,\ldots,$ в $d$-мерном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^d$, где $S_0=0, \xi_k$ — независимые одинаково распределенные случайные векторы, удовлетворяющие моментному условию Крамера. Для случайных ломаных, построенных по узловым точкам
$$ \biggl(\frac{k}{n}, \frac{1}{x}S_k\biggr),\quad k=0,1,\ldots,n, $$
найдена при $n\rightarrow\infty$ логарифмическая асимптотика вероятностей больших уклонений в различных пространствах траекторий, когда $x\sim\alpha_0n, \alpha_0>0$. Получены так называемые локальный и расширенный принципы больших уклонений (п.б.у.) (см. [1]), которые справедливы и в тех случаях, когда “обычный” принцип больших уклонений отсутствует.
Работа состоит из 3 частей. Часть I содержит два раздела. В разделе 1 приводятся основные понятия и некоторые сведения о п.б.у. в произвольных метрических пространствах. В разделе 2 формулируются “усиленные” версии «обычных» п.б.у. в области больших уклонений, полученных ранее в [2], [3] в пространстве непрерывных функций. Кроме того, в разделе 2 приводится п.б.у. для вероятностей попадания траекторий случайных блужданий в выпуклые множества. Он получен на основе неравенств в [4] и не содержит каких-либо моментных условий.
В разделе 3 части II рассмотрен пример, поясняющий необходимость расширения постановки задачи и самого понятия “принцип больших уклонений”. Введены новое расширенное пространство функций, метрика в нем и функционал (интеграл) уклонений более общего, чем ранее, вида, с помощью которых будет строиться “расширенный” п.б.у. В разделе 4 для траекторий одномерных случайных блужданий в пространстве $\mathbb{D}$ функций без разрывов второго рода приводятся и доказываются основные результаты работы: локальный и расширенный принципы больших уклонений. В разделе 5 все утверждения работы, сформулированные и доказанные в разделе 4, распространены на многомерный случай.
Раздел 6 части III содержит изложение результатов, аналогичных тем, что получены в разделе 4, но теперь в пространстве функций ограниченной вариации с более сильной, чем в $\mathbb{D}$, метрикой. В разделе 7 получены так называемые условные принципы больших уклонений для траекторий одномерных случайных блужданий при локализованном положении блуждания в последний момент. В качестве следствия получена версия теоремы Санова о больших уклонениях эмпирических распределений.