Maximum of continuous versions of Poisson and negative binomial type distributions

Пусть $M_n$ — максимум случайной выборки из $F(x)$ на $R$. Известно, что существует функция $g_n\colon R\to R$ такая, что $g_n (M_n)\stackrel{\mathscr{L}}{\to}Y$, $n\to\infty$, где случайная величина $Y$ невырождена тогда и только тогда, когда $\overline{F}(x)/\overline{F}(x-)\to 1$ при $x\to\infty$, где $\overline{F}(x)=1-F(x)$. Это условие выполнено для непрерывных $F$, но не выполнено, например, когда $F$ — пуассоновское или отрицательно биномиальное распределение. Мы рассматриваем классы распределений $\overline{F}(x)=cx^\beta \exp(\alpha x)x^{-x}\{1+o(1)\}$ and $\overline{F}(x)=dx^c\exp(-ax)\{1+o(1)\}$ при $x\to\infty$. Эти классы включают в себя пуассоновское и отрицательно биномиальное распределение при целых $x$, но не включают при произвольных $x$. Мы показываем, что $(M_n-a_n)/b_n\stackrel{\mathscr{L}}{\to}Y$ при $n\to\infty$ для некоторых $a_n$ и $b_n$, где $Y$ — случайная величина Гумбеля с функцией распределения $\exp\{-\exp(-y)\}$, $-\infty<y<\infty$.