Almost sure limit theorems for Gaussian sequences

Пусть $\{X_n,\ n\ge 1\}$ — гауссовские случайные величины с нулевым средним, единичной дисперсией и корреляциями $r_{ij}=\mathbf{E}\,X_i X_j$. Предположим, что существует последовательность $0\le\rho_n<1$, $n\ge 1$, такая, что $|r_{ij}|\le\rho_{|{j-i}|}$ для $i\ne j$ и $\rho_n\ln n(\ln\ln n)^{1+\varepsilon}=O(1)$ при $n\to\infty$. Для последовательности уровней $\{u_{nk},\ 1\le k\le n,\ n\ge 1\}$, положим $\lambda_n=\min_{1\le k\le n}u_{nk}$, и пусть последовательность $n(1-\Phi(\lambda_n))$ ограничена. Мы выводим центральные предельные теоремы типа “почти наверное” для $(\ln n)^{-1}\sum_{k=1}^n k^{-1}I(X_1\le u_{k1},\dots,X_k\le u_{kk})$ и $(\ln n)^{-1}\sum_{k=1}^nk^{-1}I(\max_{1\le i\le k}X_i\le\lambda_k)$.