Общий подход к анализу максимума случайного блуждания в условиях тяжелой нагрузки

Для семейства случайных блужданий $\{S_k^{(a)}\}$ со сносом $\mathbf{E}\,S_k^{(a)}=-ka<0$ рассматривается глобальный максимум $M^{(a)}=\sup_{k\ge 0}S_k^{(a)}$. Изучается асимптотическое поведение максимума $M^{(a)}$ в условиях тяжелой нагрузки, т.е. при $a \to 0$, при условии, что приращения случайных блужданий принадлежат области притяжения устойчивого закона. Эта задача была впервые рассмотрена в 60-х годах в контексте одноканальной системы массового обслуживания. Дж. Кингман и Ю. В. Прохоров предложили два разных подхода к решению этой задачи в случае, когда дисперсия приращений конечна. Впоследствии оба подхода были использованы многими авторами в других частных случаях. В данной работе предлагается обобщение обоих методов на случай притяжения к произвольному устойчивому закону. Оказывается, что основные технические трудности, возникающие при использовании этих подходов, имеют похожую природу и могут быть преодолены с помощью обобщения классического неравенства Колмогорова. Такое обобщение также получено в работе.