Броуновский прыжок в высоту

Рассмотрено остановленное (при попадании на уровень $(-\varepsilon)$, $\varepsilon>0$) броуновское движение при условии, что уровень $1$ достигается ранее уровня $(-\varepsilon)$. Доказана сходимость этого процесса по распределению в $C[0,+\infty)$ при $\varepsilon\to 0$ к некоторому случайному процессу, который и назван броуновским прыжком в высоту. Показано, что этот процесс совпадает по распределению с участком броуновской траектории между такими ее двумя последовательными нулями, что момент первого достижения уровня $1$ содержится между ними. Показано, что именно броуновский прыжок в высоту является предельным процессом в принципе инвариантности для критического ветвящегося процесса в случайной среде, достигающего высокого уровня. Найдены конечномерные распределения броуновского прыжка в высоту и распределения различных его функционалов.