Law of the sum of Bernoulli random variables

Пусть $\Delta_n$ — множество всех возможных совместных распределений $n$ бернуллиевских случайных величин $X_1,\dots,X_n$. Предположим, что $\Delta_n$, являющееся симплексом в $2^n$-мерном пространстве, снабжено нормированной мерой Лебега $\mu_n$. Предположим также, что целое число $n$ велико. Мы показываем, что тогда существует подмножество $\Delta$ множества $\Delta_n$, мера $\mu_n(\Delta)$ которого очень близка к единице, такое, что если совместное распределение величин $X_1,\dots,X_n$ принадлежит $\Delta$, то закон распределения суммы $X_1+\cdots+X_n$ близок к биномиальному закону $\mathscr{B}(n,1/2)$. Этот результат не опирается ни на какое предположение независимости. Кроме того, мы доказываем результат подобного рода в случае, когда на $\Delta_n$ задана другая вероятностная мера $\nu_n$.