Глобальная оптимальная скорость сходимости в модели для исследования тензоров диффузии

В недавней работе (Ann. Statist., 2007, v. 35, №4, p. 1576–1607) В. И. Колчинский, Л. А. Саханенко и С. Кай построили и изучили оценки интегральных кривых на основе искаженных наблюдений соответствующего градиентного поля. Эта задача оценивания мотивирована исследованием тензоров диффузии, которое представляет собой популярную технику сканирования мозга. Недавно Л. А. Саханенко (Теория вероятн. и ее примен., 2009, т. 54, в. 1, с. 166–176) показала, что эти оценки обладают поточечно оптимальной скоростью сходимости в минимаксном смысле. В данной работе мы покажем, что они также обладают оптимальной скоростью сходимости в интегральной $L_p$-норме, $1\le p\le\infty$, в минимаксном смысле. Этот результат подводит черту под исследованиями об оптимальной скорости сходимости для этих оценок.