On Helixes in Hilbert Space. I

Пусть $x(\cdot)$ — спираль в гильбертовом пространстве $\mathfrak{H}$, т.е. непрерывная функция на поле действительных чисел $\mathfrak{R}$ со значениями в $\mathfrak{H}$, такая, что для всех $a, b, c, d, t\in \mathfrak{R} (x(b+t)-x(a+t), x(d+t)-x(c+t))=(x(b)-x(a), x(d)-x(c))$. Мы показываем, что $x(b)-x(a)=T_U(a,b](\alpha_x),$ где $T_U(\cdot)$ — операторно-значная мера, построенная по группе сдвигов $(U_t, t\in\mathfrak{R})$ функции $x(\cdot)$ и $\alpha_x\in\mathfrak{H}$ — “средний вектор”, связанный с $x(\cdot)$. Этот результат полностью описывает все спирали в рассматриваемой временной области: структура каждой спирали определяется соответствующей стационарной кривой $y(\cdot)=(U_t(\alpha_x), t\in\mathfrak{R})$ и “вектором перемещения” $p_x\perp y(\cdot)$. С помощью спектрального представления группы сдвигов $x(\cdot)$ мы из этих результатов легко получаем сильное и слабое спектральное представление спирали в смысле Колмогорова [6], [7] и фон Неймана и Шенберга [18], [19] и, кроме того, полностью описываем участвующие в них меры.