Семейства согласованных вероятностных мер

В статье рассматривается следующий вопрос. Пусть $P(t)_{t\ge 0}$ — семейство согласованных вероятностных мер, заданных на фильтрации $(\mathscr{F})_{t\ge 0}$. Существует ли мера $P$ на $\sigma$-алгебре $\vee_{t\geq 0}\mathscr{F}_t$ такая, что $P|\mathscr{F}=P_t$? Ответ на этот вопрос положителен для пространств $C(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}^d)$ и $D(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}^d)$, наделенных натуральной фильтрацией. Мы доказываем это простым методом, основанным на применении теоремы Прохорова.