Periodically correlated processes with discontinuous correlation functions

Пусть $\{X(t)1,-\infty<t<\infty\}$ — процесс второго порядка с корреляционной функцией $R(s,t)$, удовлетворяющей условию
$$ R(s,t)=R(s+T,t+T)\quad\text{для всех}s\quad\text{и}\quad t. $$

Показывается, что теорема 1 Гладышева [1] остается справедливой, если существуют пределы $R(s\pm0,t\pm0)$ и
$$ R(s,t)=\frac12[R(s+0,t+0)+R(s-0,t-0)]. $$

Если для каждого $\tau$ $R(t+\tau/2,t-\tau/2)$ как функция от $t$ принадлежит $L_1[0,T]$, то для каждых $k$ и $\tau$ определяются функции
$$ f_k(\tau)=\frac1T\int_0^TR(t+\tau/2,t-\tau/2)\exp\biggl[\frac{-i2\pi kt}T\biggr]\,dt. $$
Доказывается эквивалентность следующих утверждений:
(i) $f_0(\tau)$ непрерывно в точке $\tau=0$,
(ii) $R(t+\tau/2,t-\tau/2)$ всюду $\tau$-непрерывно в норме $L_1[0,Т]$ и
$$ f_k(\tau)=\int_{-\infty}^\infty\exp(i\lambda\tau)\,dG_k(\lambda), $$

(iii)
$$ \int_{-\infty}^\infty|dG_k(\lambda)|\le f_0(0),\quad k=0,\pm1,\dots. $$