Распределение высоты случайного дерева с помеченными ребрами

Рассматривается случайное генеалогическое дерево п поколений надкритического ветвящегося процесса Гальтона–Ватсона с производящей функцией $h(s)$, $h(0)=0$, $h'(1)=A>1$; $t$-й слой вершин дерева соответствует частицам $t$-го поколения. Ребра дерева помечены независимыми одинаково распределенными случайными величинами $\{\xi_{\alpha}\}$ с функцией распределения $G(x)=\mathbf{P}\{\xi_{\alpha}\le x\}$. Вес пути от корня до вершины $n$-го слоя определяется как сумма меток $\xi_{\alpha}$ всех ребер этого пути. Высота дерева $\eta_n$ – это максимум весов всех таких путей. Показано, что функция распределения $F_n(x)=\mathbf{P}\{\eta_n\le x\}$ удовлетворяет рекуррентному соотношению
$$ F_{n+1}(x)=h(F_n* G(x)), \qquad n\ge 1, \quad F_1(x)=h(G(x)). $$
В случае, когда $G(x)$ – ограниченное решетчатое распределение, $G(x_0)=1$, $q=G(x_0)-G(x_0-0)>0$, $Aq>1$, доказано, что при любом $k=0,1,2,\dots$ существуют предельные вероятности $\lim_{n\to\infty}\mathbf{P}\{nx_0-\eta_n=kl\}$, где $l$ – шаг решетки.