Оптимальные правила остановки и максимальные неравенства для процессов Бесселя

Для процессов Бесселя, $X\in\operatorname{Bes}^{\alpha}(x)$, произвольного порядка (размерности) $\alpha\in\mathbf{R}$, рассматривается задача об оптимальной остановке (1.4), для которой выигрыш определяется величиной максимума процесса $X$ и стоимостью, пропорциональной длительности времени наблюдения. Дается описание структуры оптимального правила остановки (теорема 1) и цены (теорема 2). Эти результаты используются для вывода максимальных неравенств вида
$$ \mathbf{E}\max_{r\le\tau}X_{\tau}\le\gamma(\alpha)\sqrt{\mathbf E\tau}, $$
где $X\in\operatorname{Bes}^{\alpha}(0)$, $\tau$ – произвольный момент остановки, $\gamma(\alpha)$ – константа, зависящая от размерности (порядка) $\alpha$. Показывается, что $\gamma(\alpha)\sim\sqrt{\alpha}$ при $\alpha\to\infty$.