Time Change Representation of Stochastic Integrals

По теореме Дамбиса и Дубинса–Шварца любой стохастический интеграл $M=(\int_0^tH_sdW_s)_{t\in \mathbf{R}_+}$ по броуновскому движению может быть записан как броуновское движение со случайной заменой времени, т.е. $M=(\hat{W}_{\hat{T}_t})_{t\in\mathbf{R}_+}$ для некоторого броуновского движения $(\hat{W}_\theta)_{\theta\in\mathbf{R}_+}$ и некоторой замены времени $(\hat{T}_t)_{t\in\mathbf{R}_+}$. В [7] и [5] показано, что в этом утверждении броуновское движение можно заменить на (симметричное) $\alpha$-устойчивое движение Леви. Используя процесс кумулянт семимартингала, мы даем короткие новые доказательства. Кроме того, мы показываем, что это утверждение не может быть распространено на другие процессы Леви.