Convex Minorants of Random Walks and Brownian Motion

Пусть $(S_i)_{i=0}^n$ — процесс случайного блуждания, порожденный последовательностью независимых и одинаково распределенных вещественнозначных случайных величин $(X_i)_{i=1}^n$, имеющих плотность. Изучаются вероятностные распределения, связанные с ассоциированным процессом выпуклой миноранты. В частности, исследуется длина самого длинного сегмента выпуклой миноранты. Используя теорию случайных перестановок, мы полностью характеризуем распределение длины $r$-го по величине сегмента выпуклой миноранты броуновского движения на конечных интервалах; мы также указываем явный вид плотности совместного распределения $r$ первых по длине сегментов. Кроме того, мы используем развитые здесь методы для доказательства формулы (E. Sparre Andersen, [9]), позволяющей вычислить вероятность того, что выпуклая миноранта случайного блуждания длины $N$ будет состоять из $m$ сегментов. Приводятся аналогичные утверждения для случайных блужданий со случайными приращениями времени. Эти результаты недавно использованы автором для изучения динамики одномерных частиц с прилипанием.