An Application of a Density Transform and the Local Limit Theorem

Рссмотрим абсолютно непрерывную случайную величину $X$ с конечной дисперсией $\sigma^2$. известно, что существует другая случайная величина $X^*$ (которую можно рассматривать как преобразование $X$) с унимодальной плотностью, удовлетворяющая обобщенному ковариационному тождеству типа Стейна $\mathrm{Cov}[X,g(X)]=\sigma^2\mathbf{E}[g'(X^*)]$ для любой абсолютно непрервыной функции $g$ с производной $g'$, такой, что $\mathbf{E}|g'(X^*)|<\infty$. С помощью этого преобразования получены верхние границы для расстояния по вариации между двумя абсолютно непрерывными случайными величинами $X$ и $Y$. В качестве приложения предлагается доказательство локальной предельной теоремы для сумм независимых одинаково распределенных случайных величин в наиболее общей постановке.