Слабая сходимость одного функционала

Изучается функционал $T_n=(S_1+\dots+S_n^2)/(nV_n^2)$, построенный по последовательности $\{X_n\}_{n\ge 1}$ независимых одинаково распределенных случайных величин, где $S_k=X_1+\dots+X_k$, $V_n^2=X_1^2+\dots+X_n^2$. Пусть $G$ — функция распределения случайной величины $\int_0^1 W^2(t)\,dt$, где $W(t)$, $t\in[0,1]$, — винеровский процесс. Доказано, что функция распределения $T_n$ слабо сходится к $G$ при $n\to\infty$ тогда и только тогда, когда функция распределения случайной величины $X_1$ принадлежит области притяжения нормального закона и $\mathbf{E}X_1=0$.