On the rates of the Chung-type law of logarithm

Пусть $\{X,X_n;n\ge 1\}$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Положим $S_n=X_1+X_2+\dots+X_n$, $M_n=\max_{k\le n}|S_k|$, $n\ge 1$. Используя метод сильной аппроксимации, мы получаем, что если $EX=0$, $EX^2=\sigma^2<\infty$ и $EX^2(\ln|X|)^{b+1}<\infty$ для некоторого фиксированного $b>-1$, то
$$ \lim_{\varepsilon\nearrow\infty}\varepsilon^{-2(b+1)}\sum_{n=1}^\infty\frac{(\ln n)^b}{n}P\biggl(M_n\le\varepsilon\sigma\sqrt{\frac{\pi^2 n}{8\ln n}}\biggr)=\frac4\pi\Gamma(b+1)\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2b+3}}. $$
Обсуждается также сходимость моментов, сходимость в $L_2$ и сходимость почти наверное.