О вероятностях малых уклонений максимума частных сумм

Пусть $S_n=X_1+\dots+X_n$, где $X_1,X_2,\dots$ — независимые копии случайной величины $X$. Предполагается, что для некоторых положительных $B_n$ распределение $S_n/B_n$ слабо сходится к некоторому невырожденному распределению. Наша главная цель заключается в изучении асимптотического поведения сумм вида
$$ \sum_{n\ge 1}f_nP\biggl(\max_{1\le k\le n}|S_k|\le r\frac{B_n}{\phi_n}\biggr)\text{ при }r\nearrow\infty, $$
где $\phi_n\nearrow\infty$, $f_n\ge 0$, а ряд $\sum f_n$ расходится.