О сходимости случайных процессов, порожденных полиэдральными аппроксимациями выпуклых компактов

Рассмотрен выпуклый компакт $F$, имеющий границу класса $C^2$, вероятностную плотность $f$, сосредоточенную на $F$ и непрерывную в некоторой окрестности границы $\partial F$, а также случайный полиэдр $\Xi_n$, равный выпуклой оболочке выборки из $n$ независимых точек, имеющих распределение $f$. В работе изучается предельное поведение нормированного случайного процесса $\eta_n$, заданного на единичной сфере и равного разности опорных функций компакта $F$ и полиэдра $\Xi_n$.
Приведенные результаты формулируются в терминах эпи-сходимости, т.е.слабой сходимости эпи-графиков (над-графиков) процессов как случайных замкнутых множеств. Если $f(x)$ не обращается в ноль хотя бы в одной точке $x\in\partial F$, то $n\Xi_n$ имеет нетривиальный слабый эпи-предел при $n\to\infty$. Если $f(x)=0$ на $\partial F$, но скалярное произведение градиента $f$ и нормали к $\partial F$ не тождественно равно $0$, то правильной нормировкой будет $n^{1/2}\Xi_n$. Для этих случаев в работе найдены распределения предельного эпи-графика как случайного замкнутого множества в пространстве $S^{d-1}\times\mathbf{R}$.