|
Теория вероятностей и ее применения, 1995, том 40, выпуск 2, страницы 270–285
(Mi tvp3476)
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях)
Характеризация вероятностных распределений абсолютными моментами частичных сумм
М. Ш. Браверманa, К. Л. Маллоусb, Л. А. Шеппb a Институт прикладной математики, Хабаровск, Россия
b АТ&Т Bell Laboratories, Murray Hill, USA
Аннотация:
Если $S_n=X_1+\dots+X_n$, где $X_i$ – одинаково распределенные
стандартные нормальные случайные величины, то $\mathbf{E}|S_n|\equiv\sqrt{2n/\pi}$,
$n\ge 0$. Доказано, что не существует другого симметричного закона
с теми же самыми моментами сумм; общий случай остается открытым.
Если же $X_i$ имеет стандартное симметричное экспоненциальное
распределение, то $\mathbf{E}|S_n|=2n2^{-2n}\binom{2n}{n}$, $n\ge0$. Показано, что точно
такие же моменты для всех $n$ получаются, если $X_i\sim B(2;0,5)$, т.е.является суммой двух стандартных ($\pm1$-значных) независимых бернуллиевских случайных величин, так же как и для многих других законов, включая и несимметричные. Одним из примеров является
$X_i\sim G-1$, где $G$ есть геометрическое распределение со средним 1.
Наш интерес к этой тонкой нелинейной задаче (поставленной
Клебановым и частично решенной Неупокоевой [12]) о восстановлении
вероятностного закона по последовательности моментов вызван
также возможностью изучать положительно определенные функции с помощью формулы $\mathbf{E}|S_n|=(2/\pi)\int_0^\infty\operatorname{Re}(1-\varphi^n(1/u))\,du$, $n\ge0$, где $\varphi$
есть характеристическая функция $X_i$, $\varphi(u)=\mathbf{E}\exp(iuX_i)$. В работе
доказано, что если для некоторого $b>0$ функция $\psi_b(u)=\varphi(b\operatorname{tg}(u/b))$ положительно определена, то распределения, соответствующие $\varphi$ и $\psi_b$ имеют одинаковые моменты $\mathbf{E}|S_n|$ для всех $n$.
Если $X_i$ имеет распределение Бернулли со средним нуль и значениями $\pm1$, то моменты сумм однозначно определяют распределение
даже среди несимметричных законов. Нам неизвестны другие распределения
с таким свойством; может быть их и не существует.
Некоторые наши результаты распространяются и на случай моментов
порядка $p$, где $p$ не является целым четным.
Ключевые слова:
независимые одинаково распределенные случайные величины, абсолютные моменты частичных сумм, индуцированная мера характеристической функции, симметричный и несимметричный законы распределения, положительно определенная функция.
Поступила в редакцию: 29.07.1994
Образец цитирования:
М. Ш. Браверман, К. Л. Маллоус, Л. А. Шепп, “Характеризация вероятностных распределений абсолютными моментами частичных сумм”, Теория вероятн. и ее примен., 40:2 (1995), 270–285; Theory Probab. Appl., 40:2 (1995), 238–249
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/tvp3476 https://www.mathnet.ru/rus/tvp/v40/i2/p270
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 216 | PDF полного текста: | 149 | Первая страница: | 6 |
|