Характеризация вероятностных распределений абсолютными моментами частичных сумм

Если $S_n=X_1+\dots+X_n$, где $X_i$ – одинаково распределенные стандартные нормальные случайные величины, то $\mathbf{E}|S_n|\equiv\sqrt{2n/\pi}$, $n\ge 0$. Доказано, что не существует другого симметричного закона с теми же самыми моментами сумм; общий случай остается открытым. Если же $X_i$ имеет стандартное симметричное экспоненциальное распределение, то $\mathbf{E}|S_n|=2n2^{-2n}\binom{2n}{n}$, $n\ge0$. Показано, что точно такие же моменты для всех $n$ получаются, если $X_i\sim B(2;0,5)$, т.е.является суммой двух стандартных ($\pm1$-значных) независимых бернуллиевских случайных величин, так же как и для многих других законов, включая и несимметричные. Одним из примеров является $X_i\sim G-1$, где $G$ есть геометрическое распределение со средним 1.
Наш интерес к этой тонкой нелинейной задаче (поставленной Клебановым и частично решенной Неупокоевой [12]) о восстановлении вероятностного закона по последовательности моментов вызван также возможностью изучать положительно определенные функции с помощью формулы $\mathbf{E}|S_n|=(2/\pi)\int_0^\infty\operatorname{Re}(1-\varphi^n(1/u))\,du$, $n\ge0$, где $\varphi$ есть характеристическая функция $X_i$, $\varphi(u)=\mathbf{E}\exp(iuX_i)$. В работе доказано, что если для некоторого $b>0$ функция $\psi_b(u)=\varphi(b\operatorname{tg}(u/b))$ положительно определена, то распределения, соответствующие $\varphi$ и $\psi_b$ имеют одинаковые моменты $\mathbf{E}|S_n|$ для всех $n$.
Если $X_i$ имеет распределение Бернулли со средним нуль и значениями $\pm1$, то моменты сумм однозначно определяют распределение даже среди несимметричных законов. Нам неизвестны другие распределения с таким свойством; может быть их и не существует.
Некоторые наши результаты распространяются и на случай моментов порядка $p$, где $p$ не является целым четным.