On probability density functions which are their own characteristic functions

Пусть $p$ – плотность распределения вероятностей $P$ на вещественной прямой $\mathbf{R}$ по мере Лебега. Характеристическая функция $\widehat p$ для $p$ определяется как
$$ \widehat p(x):=\int_{\mathbf{R}}e^{ixy}p(y)\,dy,\qquad x\in\mathbf{R}. $$
Мы рассматриваем плотности вероятности $p$, которые являются своими собственными характеристическими функциями; это означает, что
\begin{equation} \widehat p(x)=\frac1{p(0)}p(x),\qquad x\in\mathbf{R}. \tag{1} \end{equation}
С помощью линейной комбинации функций Эрмита мы находим семейство плотностей вероятности, являющихся решением этого интегрального уравнения. Эти решения оказываются целыми функциями порядка 2 и типа $\frac12$, что противоречит [8, следствие 3].
Мы характеризуем общее решение интегрального уравнения (1) в выпуклом конусе функций плотностей вероятности.