On minimal moment assumptions in Berry–Esseen theorems for $U$-statistics

Скорость сходимости асимптотически нормальных $U$-статистик имеет порядок $O(n^{-1/2})$ при условии, что
$$ \mathbf{E}|\mathbf{E}\{h(X_1,X_2)\mid X_1\}|^3<\infty \quad\text{и}\quad \mathbf{E}|h(X_1,X_2)|^{5/3}<\infty, $$
где $h$-симметричное ядро, соответствующие $U$-статистике. Бенткус, Зитикис и Гётце [2] показали, что последнее моментное условие – наилучшее в том смысле, что показатель $\frac53$ нельзя заменить на $\frac53-\varepsilon$ ни при каком $\varepsilon>0$. В данной статье мы распространяем этот результат на статистики более высоких порядков с предельными распределениями, не обязательно являющимися нормальными.