Вероятности вырождения ограниченных снизу ветвящихся процессов

Рассматриваются ветвящиеся процессы Гальтона–Ватсона, ограниченные снизу барьером $m$. Такие процессы при вырождении будут поглощаться в состояниях $r=0,1,2,\dots,m$. Вероятности вырождения $q_{mr}^{(n)}(t)$ к моменту $t$ в точке $r$ процесса, начинающегося из состояния $n$, представлены в виде некоторых конечных сумм (2). Для случая $m=1$, $r=0,1$ получены представления вероятностей вырождения $q_{1r}^{(n)}=\lim_{t\to\infty}q_{1r}^{(n)}(t)$ с помощью суммы ряда (16). Изучено асимптотическое поведение вероятностей $q_{1r}^{(n)}$ при $n\to\infty$. Показано, что в докритическом процессе вероятности $q_{1r}^{(n)}$ при $n\to\infty$ асимптотически периодично зависят от $\log n$. В критическом случае рассмотрен пример, в котором $q_{1r}^{(n)}$ выписываются в виде ряда (27); показано, что в этом случае $\lim_{n\to\infty}q_{1r}^{(n)}=q_{1r}>0$, $r=0,1$.