Прямое уравнение интерполяции полумартингала по наблюдениям за точечным процессом

Пусть $(\Omega,\mathcal{F}_\infty,\mathbf{P})$ – полное вероятностное пространство, $(\mathcal{F}_t)$, $t\in\mathbf{R}_+$, – неубывающее непрерывное справа семейство $\sigma$-подалгебр $\mathcal{F}_{\infty}$, пополненных множествами из $\mathcal{F}_{\infty}$ нулевой вероятности. На этом вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F}_\infty,\mathbf{P})$ задан двумерный частично наблюдаемый случайный процесс, где $\theta_t$ – $(\mathcal{F}_t)$-согласовакная, $0\le t<\infty$, ненаблюдаемая, $(T_n,X_n)$, $n\ge1$, – наблюдаемая компоненты.
Рассмотрена задача оптимальной интерполяции, которая состоит в отыскании оптимальной в среднеквадратическом смысле оценки $\theta_s$, по результатам наблюдений за процессом $(T_n,X_n)$ на $[0,t]$, $t\ge s$. Данная работа содержит вывод уравнения оптимальной нелинейной интерполяции на основе уравнения оптимальной нелинейной фильтрации.