Существование и единственность семимартингального броуновского движения с отражением в выпуклых полиэдрах

Мы рассматриваем проблему существования и единственности для процессов семимартингального броуновского движения с отражением (СБДО) в $d$-мерных выпуклых полиэдрах. Грубо говоря, в семимартингальном представлении такой процесс внутри полиэдра ведет себя как броуновское движение с постоянным сносом и постоянной ковариационной матрицей, а на каждой из $d-1$-мерных граней, образующих границу полиэдра, компонента с ограниченной вариацией возрастает в заданном направлении (постоянном для каждой грани), в результате чего процесс остается в полиэдре. По историческим причинам, такое “отталкивание” на границе называется мгновенным отражением. Для случая простых выпуклых полиэдров мы получаем необходимое и достаточное условие в геометрических терминах для существования и единственности СБДО. В работе показано, что это условие является достаточным также и в случае непростых выпуклых полиэдров; вопрос о его необходимости в непростом случае пока открыт. Мы также показываем, что, в силу единственности, СБДО является строго марковским процессом. Полученные результаты могут найти применение при изучении диффузионных процессов, возникающих при описании сетей связи с несколькими типами заявок в пределе большой нагрузки. В частности, непростой случай имеет отношение к сетям с параллельной обработкой и сборкой заявок. В нашем доказательстве слабого существования используется связь с кусочной проблемой мартингала, рассмотренной Куртцем; единственность доказывается с помощью эргодических соображений, сходных с рассуждениями Тейлор и Вильяме при доказательстве единственности СБДО в ортанте.