Cutpoints and exchangeable events for random walks

Для марковской цепи $\{S_n\}$ назовем $S_k$ точкой разреза (cutpoint) и $k$ – моментом разреза (cut-epoch), если не существует возможных переходов из $S_i$ в $S_j$ ни при каких $i<k<j$. Покажем, что невозвратное случайное блуждание с ограниченным размером шага на целочисленной решетке имеет бесконечно много точек разреза почти наверное. Для простого случайного блуждания на $\mathbb{Z}^d$, $d\ge4$, этот факт установлен Лолером (Lawler). Далее, пусть $G$ – конечно порожденная группа с по крайней мере полиномиальным порядком роста степени 5, тогда для любого симметричного случайного блуждания на $G$ такого, что шаги имеют ограниченный носитель, который порождает $G$, моменты разреза имеют положительную плотность.
Также будет показано, что для любой марковской цепи, имеющей бесконечно много точек разреза почти наверное, предельные числа размещения (eventual occupation numbers) порождают перестановочную $\sigma$-алгебру. Объединяя эти результаты, можно получить ответ на вопрос, поставленный Каймановичем (Kaimanovich), и частично разрешить предположение Диакониса (Diaconis) и Фридмана (Freedman).