Отклонения от типичных пропорций в многотипных критических ветвящихся процессах Гальтона–Ватсона

Пусть $\{\mathbb{Z}(t):t=0,1,\dots\}$ – критический ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона с $K$ типами частиц, а ${\mathbf w}=(w_1,\dots,w_K)^T$ – вектор с действительными компонентами. Известно, что при довольно общих условиях на характеристики исходного процесса последовательность $\langle{\mathbb Z}(t),{\mathbf w}\rangle:=\sum_kZ_k(t)w_k$, при соответствующей нормировке и условии невырождения, сходится по распределению при $t\uparrow\infty$ ([8]). Однако этот предел является вырожденным с единичным атомом в 0, если вектор $\mathbf w$ существенно отличается от вектора “типичных” пропорций числа частиц различных типов, т.е. если $\mathbf w$ ортогонален левым собственным векторам, соответствующим максимальному собственному значению матрицы математических ожиданий числа потомков частиц процесса. В работе показано, что в этом случае (при естественных дополнительных ограничениях на законы распределения числа потомков частиц различных типов) существует нормировка, обеспечивающая невырожденность предельного закона. В отличие от случая конечной дисперсии числа непосредственных потомков, который был рассмотрен ранее в [1] и [3], предельный закон (например, его “показатель”) существенно зависит от $\mathbf w$.