Нормальная аппроксимация $U$-статистик в гильбертовом пространстве

Пусть $\{U_n\}$, $n=1,2,\dots,$ – последовательность $U$-статистик с ядром $\Phi(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ со значениями в гильбертовом пространстве $H$, построенная по последовательности наблюдений (случайных величин) $X_1,X_2,\dots$ . Исследуется скорость сходимости на шарах в центральной предельной теореме для $\{U_n\}$. Полученная оценка имеет порядок $n^{-1/2}$ и явно зависит от $\mathsf{E}\|\Phi(X_1,X_2)\|^3$, а также от следа и первых девяти собственных значений ковариационного оператора величины $\mathsf{E}(\Phi(X_1,X_2)|X_1)$.