Limit distributions for order statistics. I

Предельное распределение $k$-й порядковой статистики $X_{nk}$ в выборке объема $n\to\infty$ из совокупности независимых случайных величин с функцией распределения $F$ зависит от последовательности $k=k(n)$. Существуют такие функции распределения $F$, что любое распределение $G$ является предельным для $X_{nk}$ при соответствующем выборе последовательности $k$.
С другой стороны, если $k(n)=n$, то $X_{nk}$ является максимальным членом выборки. В этом случае предельное распределение $G$ является одним из распределений экстремальных значений, и для каждого $G$ известна его область притяжения. Мы получаем аналогичные результаты, предполагая, что последовательность $k$ удовлетворяет некоторому условию регулярности; при этом класс предельных распределений оказывается довольно узким (он содержит нормальное, логарифмически нормальное и некоторые другие распределения). Для каждого не нормального предельного распределения $G$ мы описываем регулярные последовательности $k$ и функции распределения $F$, для которых $X_{nk}$ слабо сходится к $F$. При фиксированном $p\in[0,1]$ мы описываем те функции распределения $F$, для которых $X_{nk}$ асимптотически нормально при всех регулярных последовательностях $k$, удовлетворяющих условию $k/n\to p$.