О моменте первого достижения для процессов ожидания

За последние 40 лет процессы ожидания рассматривались в литературе в различных областях теории вероятностей и статистики. Их изучали в разное время Д. Линдли [8], Д. Кендалл [3] и А. А. Боровков [1] – в теории массового обслуживания, Е. Пэйдж [10] и Р. Хан [4], [5] – в алгоритме кумулятивных сумм, Н. Прабху [11] – в теории запасов, и другие. В ряде статей в различных контекстах критической величиной становился момент прохождения процессом некоторого наперед заданного уровня $N$.
В настоящей работе выводится асимптотика математического ожидания момента первого достижения при $N\to\infty$. Хотя в дискретном случае результат первой части статьи вытекает из доклада В. Лотова [9], его можно получить и иным путем, дополнив доказательство В. Лабковского [7].
Во второй части статьи определяется процесс ожидания с непрерывным временем, индуцированный стохастически непрерывным случайным процессом с независимыми приращениями. Аналогичный результат для момента первого достижения оказывается справедливым и в этом случае.