A central limit problem for partially exchangeable random variables

В настоящей статье рассматривается центральная предельная проблема для $((S_{1n},S_{2n},\dots))_n$, когда $S_{in}=\sum_{j=1}^n\xi_{ij}^{(n)}$ ($i=1,2,\dots$), а $\{\xi_{ij}^{(n)}:i=1,2,\dots;j=1,\dots,n\}$ для каждого $n$ есть матрица частично перестановочных случайных величин. Показано, что при определенных условиях “пренебрежимости” класс предельных законов совпадает с классом всех перестановочных законов, которые представимы в виде смесей безгранично делимых распределений. Более того, даны необходимые и достаточные условия сходимости к любому заданному элементу из этого класса. Обсуждаются критерии для трех замечательных типов предельных законов (смесь гауссовских, пуассоновских и вырожденных распределений). Доказано также, что в случае, когда $\xi_{ij}^{(n)}=X_{ij}/a_n$, ($a_n\to+\infty$), а величины $X_{ij}$ ($i,j=1,2,\dots$) перестановочны, класс предельных законов можно охарактеризовать в терминах смесей устойчивых законов. Наконец, мы показываем, что некоторые хорошо известные основные предельные теоремы могут быть получены как следствия результатов, доказанных в настоящей работе.