The mean, median, and mode of unimodal distributions: a characterization

Для одновершинного распределения на вещественной прямой знаменитое mean-median-mode неравенство (неравенство, связывающее среднее, медиану и вершину распределения) утверждает, что они часто “идут” в алфавитном или обратном алфавитном порядке (на английском языке). Известны различные достаточные условия выполнения этого неравенства. В данной статье полностью описано трехмерное множество средних, медиан и вершин одновершинных распределений. Установлено, что это множество линейно связно, но не является выпуклым. Выведены некоторые фундаментальные неравенства, связывающие среднее, медиану и вершину одновершинных распределений. Эти неравенства применяются для (i) доказательства неодновершинности некоторых распределений и (ii) получения оценок для медианы одновершинного распределения. В многомерном случае используется обобщенное понятие $\alpha$-одновершинности и даны характеризации множества средних векторов, когда вершина фиксирована или “бегает” по сфере. В частности, обнаружено, что множество средних векторов обобщенных одновершинных распределений с заданными вершиной и ковариационной матрицей есть в точности эллипсоид и этот эллипсоид полностью описан.