Some problems in probabilistic tomography

Если заданы распределения вероятностей $F_1,F_2,\dots,F_k$ на $\mathbf{R}$ и различные направления $\theta_1,\dots,\theta_k$, можно задаться вопросом, существует ли вероятностная мера на $\mathbf{R}^2$ такая, что маргинальное распределение для $\mu$ по направлению $\theta_j$ есть $F_j$, $j=1,\dots,k$. Например, для $k=3$: каково может быть маргинальное распределение для $\mu$ по направлению $45^{\circ}$, если каждый из маргиналов по осям $x$ и $y$ есть, скажем, стандартное нормальное распределение? На вероятностном языке, если $X$ и $Y$ – стандартные нормальные величины с произвольным совместным распределением, то какими могут быть распределения $X-Y$ и $X+Y$ Такого рода вопросы хорошо знакомы вероятностникам и (за исключением, возможно, того, что касается положительности $\mu$) томографам, однако ответы на них в конкретных случаях дать нелегко. $C$ – множество распределений для $Z=X-Y$ – выпукло и компактно, и содержит одноточечное распределение $Z=0$, поскольку можно взять $X\equiv Y$ со стандартным нормальным распределением. Мы показываем, что множество значений $Z$ может состоять из трех точек: $Z=0$, $\pm a$ для любого $a$ с положительными вероятностями, но никакое (отличное от тождественного нуля) 2-точечное распределение для $Z$ не подходит. Используя численное линейное программирование, мы предоставляем убедительные доказательства того, что $Z$ может быть равномерным на интервале $[-\varepsilon,\varepsilon]$ для малых $\varepsilon$ и оцениваем максимальное возможное $\varepsilon$. Описать множество всех экстремальных точек $C$ в явном виде, по-видимому, невозможно.
Мы также рассматриваем вопрос отыскания экстремальных мер на единичном квадрате с равномерными маргинальными распределениями по обеим координатам и показываем, что не каждая такая мера – что удивительно – имеет носитель, имеющий только по одной точке на горизонтальной и вертикальной осях.