Ветвящиеся процессы Гальтона–Ватсона в случайной среде. I: Предельные теоремы

Пусть $Z_n$ — число частиц в момент времени $n$ в ветвящемся процессе в случайной среде, порожденной независимыми и одинаково распределенными случайными вероятностными производящими функциями $f_0(s), f_1(s),\dots,f_n(s),\dots$ . Пусть
$$ X_i=\log f_{i-1}'(1),\qquad i=0,1,2,\ldots\,; \qquad S_0=0,\quad S_n=X_1+\cdots+X_n,\qquad n\ge 1. $$
Показано, что если процесс $Z_n$ является в некотором смысле “критическим”, то существует предел по распределению
$$ \lim_{n\to\infty}e^{-\min_{0\le j\le n}S_j}\mathbf{P}\{Z_n>0\mid f_0,\dots,f_{n-1}\}=\zeta, $$
где $\zeta$ — собственная случайная величина, принимающая с вероятностью 1 лишь положительные значения. Доказано также, что для “типичной” реализации среды число частиц $Z_n$ при условии $\{Z_n>0\}$ растет (с точностью до конечного положительного случайного множителя), как $e^{S_n-\min_{0\le j\le n}S_j}$.