Operators on $L^p$-spaces determined by filtrations and pointwise ergodic theorems

Пусть $(\Omega,{\normalsize\mathscr{F}}, \mu)$ — вероятностное пространство и $({\normalsize\mathscr{F}}_t, a\le t\le b)$ — фильтрация на $(\Omega,{\normalsize\mathscr{F}})$. Мы рассматриваем операторы в $L^p(\Omega, \mu)$, $1 <p<\infty$, заданные рядом $\sum_k f(t_k)(E_{t_k}-E_{t_{k-1}})$ или интегралом $\int_a^b f(t)\,dE_t$, где $E_t$— условное математическое ожидание $\mathbf{E}\,(\cdot \,|\,\mathscr{F}_t)$, и доказываем для таких операторов поточечные предельные теоремы. Предлагаются доказательства в духе подхода Гапошкина к сходимости почти всюду эргодических средних в $L^2$ с применением неравенств Буркхольдера для мартингалов и интерполяции операторов в пространствах $L^r$.