О точной асимптотике в слабом законе больших чисел для сумм независимых случайных величин с общей функцией распределения из области притяжения устойчивого закона

Рассматриваются независимые одинаково распределенные случайные величины $X_1, X_2, \ldots\,$, такие, что
$$ U_n=\frac{S_n}{B_n} -n\,a_n \longrightarrow \xi_\alpha\qquad по вероятности при\quad n\to\infty, $$
где $S_n = X_1 + \cdots + X_n$, $B_n>0$, $a_n$ — некоторые числа $(n\ge 1)$, а случайная величина $\xi_\alpha$ имеет устойчивое распределение с характеристическим показателем $\alpha\in (0, 2)$.
Основной целью работы является нахождение условий при которых
$$ \sum_n f_n P\{|U_n|\ge\varepsilon\varphi_n\}\sim \sum_n f_n P\{|\xi_\alpha|\ge\varepsilon\varphi_n\},\qquad \varepsilon\searrow 0, $$
где $\varphi_n$ — положительная последовательность, растущая к бесконечности и удовлетворяющая некоторым дополнительным ограничениям, а $f_n$ — неотрицательная последовательность, такая, что $\sum_n f_n =\infty $.