О стохастической оптимальности для линейно-квадратического регулятора

В работе показывается, что оптимальное на бесконечном интервале времени марковское управление $\widehat u$ в стандартной задаче линейно-квадратического регулятора обладает следующим свойством. Существует такая константа $b_*$, что для любого $b> b_*$ процесс дефекта оптимального управления относительно любого конкурирующего управления, т.е. разность $J_T(\widehat u)- J_T(u)$ между значением квадратического функционала $J_T(\widehat u)$, отвечающим оптимальному на бесконечности управлению, и значением $J_T(u)$, отвечающим конкурирующему управлению $u$, мажорируется на бесконечности функцией $b\ln T$, т.е. функция $b\ln T$ является верхней функцией для любого процесса дефекта. Этот результат в комбинации с примером линейно-квадратического регулятора, в котором при некотором $b>0$ функция $b\ln T$ не является верхней функцией для некоторого процесса дефекта, дает ответ на давно стоящий вопрос о наилучшей весовой функции для чувствительных вероятностных критериев. Приводимая постановка включает так называемую задачу оптимального “ трекинга”.